+
proiezioni conformi introduzione Una proiezione cartografica ipotetica riprodurre fedelmente tutte le caratteristiche della sfera originale sarebbe perfettamente equidistanti. cioè distanze tra ogni due punti manterrebbero lo stesso rapporto sia su carta e la sfera; Pertanto, tutte le forme sarebbe anche essere preservate. Su una mappa piatta questa proprietà è semplicemente non è possibile, come ben visibile nei punti al bordo della mappa. Dove conformalità fallisce: singolarità In quasi ogni mappa dell'intero mondo classificate come "conforme", almeno un punto è una singolarità. in realtà non rappresentato conformally, perché: esso può essere mappato all'infinito, pertanto, non può essere inclusa, o linee convergono lì in un angolo diverso che sulla Terra, o lungo una curva chiusa che circonda il punto, la somma degli angoli non è 360 & deg; come accade sulla Terra Si consideri la mappa conforme conica polare in alto a sinistra; suo polo centrale è nonconformal per il fatto che una curva intorno ad esso (verde) completa un 254 & deg; circuito 33 'anziché 360 & deg; come nel globo, che è rappresentata dalla mappa azimutale obliqua parzialmente trasparente ortogonale a destra. Il polo opposto (viola) è il secondo punto singolare, necessariamente assente sulla mappa. In tutti gli altri, le linee di reticolo intersecano ad angolo retto, una condizione sufficiente ma non necessaria per conformality. Avviso come punti di frontiera di questa mappa (ad esempio presso il disco blu) sono tecnicamente conforme nonostante l'inevitabile lordo distorsione distanza relativa ai suoi vicini, vicino al confine opposto su una proiezione conforme, scala viene deformato omogeneamente in tutte le direzioni, quindi "piccole" cerchi sono conservati. Diametri dei dischi colorati sono uguali sulla Terra, ma variano notevolmente sulla mappa, come tipico di proiezioni conformi Per molte applicazioni di mappatura, come la topografia e certi tipi di navigazione, una minore costrizione, conformality o fedeltà della forma, è il requisito fondamentale: all'incrocio di due qualsiasi linee sulla mappa, l'angolo tra la stessa tra loro controparti sulla sfera; in particolare, ogni parallelo deve attraversare ogni meridiano ad angolo retto. Inoltre, in qualsiasi punto della distorsione scala, sia la compressione o esagerazione, deve essere uguale in tutte le direzioni. Conformalità è una struttura strettamente locale: angoli, di conseguenza forme, non dovrebbero essere conservato molto al di là del punto di intersezione; infatti, linee rette sulla sfera di solito sono curvate lungo il piano, e viceversa. proiezioni cartografiche conformazionale sono spesso impiegati in applicazioni su larga scala, e raramente utilizzato per le mappe continentali o mondiali (quelle mostrate qui sono inclusi solo per il confronto), anche se l'interruzione può alleviare questo problema. Dal momento che nessuna mappa conforme può essere uguale area & mdash; la maggior parte infatti grossolanamente distorcere dimensioni lontano dal centro della mappa & mdash; proiezioni conformi non sono quasi mai applicate alla cartografia tematica e statistiche, in cui i confronti in base alle dimensioni sono comuni. Anche se molto importante proiezione conforme è uno dei più antichi proiezioni cartografiche ancora in uso, la comprensione sistematica dei requisiti e delle proprietà di conformalità ha dovuto attendere per lo sviluppo di sofisticati strumenti matematici come il calcolo differenziale e analisi complessa nei secoli 18 e 19. Al contrario, trasformazioni conformi cresciuto in un importante ramo della matematica moderna. E 'anche un notevole strumento di progettazione: ad esempio, da diversi problemi di flusso possono essere facilmente risolti in forme regolari come un cerchio o un quadrato, una regione complesso può essere conformally mappato alla forma semplice, il problema può essere risolto, allora il soluzione trasformato indietro al contesto originale tramite la mappatura conformazionale inversa. Poche le mappe utilizzando casi sferiche della proiezione conforme "Lagrange" con reticolo composto da archi di cerchio & mdash; da cima a fondo: la proiezione base pubblicato da J. Lambert nel 1772, con l'equatore come una linea retta e un fattore di 1/2 che si contrae equatoriale proiezione stereografica azimutale da un piano infinito in una cornice circolare la stessa mappa con 1/2 fattore, ma parallelo dritto a 65 & deg; S riduce la gamma di distorsione areale alle terre abitate nel nord una ricostruzione della mappa di Lagrange dell'Europa parametrizzato per ridurre il tasso di variazione di scala nei pressi di Berlino: retta parallela 18 & deg; 30'S, fattore 1,17 e meridiano centrale a Berlino una mappa con Equatore dritto e fattore di 2/3, con emisferi e mezzo delimitate da un cerchio. Proiezioni conformi "Classic" Per ciascuno dei tre gruppi principali di proiezione, vi è un unico disegno conformazionale, meglio presentato altrove: l'antica stereografica azimutale. che ha la proprietà aggiuntiva unica di conservare la forma di qualsiasi cerchio sulla sfera, non importa quanto grande Mercator 's, una proiezione cilindrica che sotto l'aspetto normale ha meridiani verticali dritte, pertanto consentendo misurazioni dirette cuscinetti conforme di Lambert conica. il orthomorphic. un caso generale degli altri due sporgenze Come la maggior parte proiezioni conformi, quei tre soffrono di singolarità; in particolare (descrizioni valgono per gli aspetti normali), il stereografica azimutale non può includere il punto antipodi per il centro di proiezione; la proiezione di Mercatore esclude entrambi i poli, e la conica conforme mostra un unico polo, che è nonconformal dal momento che la somma degli angoli di tutti i meridiani è inferiore a 360 & deg ;. In un breve tratto del suo manoscritto del 1772 che descrive altre due proiezioni conformi seminali, il orthomorphic conica e trasversale Mercator, Lambert ha descritto un approccio relativamente semplice ma molto interessante: sulla sfera, comprimere (meno di solito, espandere) ogni meridiano moltiplicando sua longitudine per un fattore costante ancora sulla sfera, spostare i paralleli lungo per ripristinare conformality applicare una proiezione stereografica azimutale sotto l'aspetto equatoriale Il risultato è una classe di conformazionale & mdash; perché la composizione di conformazionale mappature sucessive è essa stessa conforme & mdash; proiezioni con reticoli che compongono archi di cerchio; le uniche linee rette sono il meridiano centrale e una base in parallelo, che si trova sempre a metà strada tra i poli (ci sono due casi particolari indicato di seguito). distorsione scala è grande vicino ai poli, che sono nonconformal. Lambert ha illustrato la sua carta con una mappa utilizzando un fattore di 0,5 e l'Equatore, come il rettilineo parallelo; questo associa tutta la Terra in un disco che ovviamente coincide con l'emisfero interna della proiezione stereografica equatoriale azimutale originale, con angoli meridiani totale ai poli 180 & deg; invece di 360 & deg ;. Egli ha sottolineato l'effetto di modificare il fattore di base e paralleli, ma ha osservato altre alternative come inferiori, tranne due casi particolari: il fattore 1 che produce il stereografica originale e 0 per equatoriale Mercator. Questa classe di proiezioni, anche il caso base preferita da Lambert, è generalmente noto come la proiezione "Lagrange" dopo un famoso promoter, il matematico compiuto Joseph Lagrange, che ha sviluppato il suo caso ellissoidale e studiato a fondo le sue proprietà (1779). Per esempio, ha proposto parametri che ridurre al minimo il tasso di variazione di scala nei pressi di un dato luogo, illustrando il suo punto con una mappa per Berlino. Oggi, la proiezione "Lagrange" è quasi mai utilizzato per sé, ma è diventato un passo fondamentale per lo sviluppo matematico di proiezioni, poiché la sfera conformally mappato su un disco unità è una base conveniente per ulteriori trasformazioni. metodo di compressione longitudini di Lambert è stato successivamente applicato da Aitoff e martello sulla azimutale, rispettivamente, equidistanti e azimutale pari-area proiezioni. Una comparazione tra i fattori di longitudine sulla base di una proiezione finita è istruttivo e forse più facile da visualizzare che per la stereografica azimutale. mappa conforme di Eisenlohr Proiezioni conformi di Eisenlohr e agosto Evitare singolarità era un requisito di due disegni superficialmente molto simili provenienti dalla Germania. Entrambi sono stati sviluppati per l'aspetto equatoriale; l'equatore e meridiano centrale sono linee rette, ei poli sono cuspidi di primo piano. distorsione Area è evidente in prossimità dei meridiani di confine ma, unicamente, entrambe le proiezioni sono conforme in ogni punto, anche i poli. mappa conforme epicicloidale di August Il progetto pubblicato da Friedrich Eisenlohr nel 1870 ha due funzioni aggiuntive: la scala è costante lungo i meridiani di confine; e più notevole, intervallo di scala è il più stretto di qualsiasi proiezione conforme, & mdash; confrontare con la gamma per le tre proiezioni classiche. calcoli relativamente complessi inizialmente limitato il suo utilizzo, e ancora oggi è raramente impiegato. La proiezione progettato da Friedrich agosto e co-sviluppato da Bellermann è stata pubblicata nel 1874 come alternativa al disegno di Eisenlohr: l'intervallo di distorsione scala è più larga (1. 8) e non costante meridiani contorno, ma la sua costruzione è alquanto semplice. Una mappa del mondo è delimitata da un epicicloidale, la forma definita da un punto su un cerchio di rotolamento senza scivolare un'altra, fisso, cerchio. Né la proiezione di Eisenlohr né agosto del deve essere confuso con disegni simili di aspetto, come la generalizzata "Lagrange" e il policonico americano nonconformal. policonico rettangolare e IV van der Grinten. mappa conforme quinconce di Peirce in una piazza Emisferi Conformal nelle piazze La maturazione di analisi complessa ha portato a tecniche generali per la mappatura conformazionale, in cui i punti di una superficie piana vengono gestiti come numeri sul piano complesso. In particolare, tre cartografi notevoli sviluppati gli aspetti di una proiezione conforme di un emisfero (o il mondo intero, dopo un riarrangiamento adatto) su un quadrato. Tutti e tre gli approcci richiedono la valutazione di integrali ellittici del primo tipo. Mentre lavorava presso gli Stati Uniti costa e Geodetic Survey, il filosofo americano e poliedrico Charles Sanders Peirce comunicati sua proiezione conforme nel 1879. Sotto l'aspetto normale, presenta l'emisfero nord in una piazza; l'altro emisfero è suddiviso in quattro triangoli destra simmetricamente che circondano la piazza, simile proiezioni a stella. In effetti, l'intera mappa è un quadrato più grande, ispirando Peirce di chiamare il suo quinconce proiezione. dopo la disposizione di cinque elementi di una croce. mappe quinconce Peirce in cotto. Si può scegliere la piazza normale, piazza del polo sud, e diverse possibili disposizioni di otto triangoli? Si può scegliere le singolarità? proiezione di Peirce è conforme ovunque tranne agli angoli dell'emisfero interna & mdash; quindi i punti medi dei bordi in tutta la mappa & mdash; dove l'Equatore rompe bruscamente. Scala è fortemente allungato vicino a questi quattro punti; Al contrario, le regioni polari sono piuttosto compressi. L'equatore e quattro meridiani sono dritti, ma rotti linee; tutte le altre linee di reticolo sono curve complesse. Gli otto triangoli di una mappa quinconce possono evidentemente essere riorganizzate come un rettangolo, o in un aspetto polo sud. Inoltre, la mappa tessellates piano; vale a dire con una rotazione banale, copie ripetute possono coprire completamente (cioè mattonelle) su una superficie arbitraria, le caratteristiche di ogni copia esattamente uguali a quelli dei suoi vicini. Tuttavia, i punti in prossimità delle singolarità presenti due volte sul tesselation; con la scelta di Peirce di aspetto, tutti cadono in mare sono appena percettibile. la proiezione di Peirce in un aspetto equatoriale Solo pochi anni dopo Peirce, & eacute; miglio Guyou dalla Francia ha presentato la sua proiezione conforme (1886-1887). Nella sua forma originale, che comprende gli emisferi occidentali e orientali, ciascuno in una piazza; l'equatore e quattro meridiani sono linee rette, due dei più tardi rotto lungo i bordi delle piazze '. Altri meridiani e paralleli sono curve complesse. Classic Guyou mappa, meridiano centrale 20 & deg; E, pali al punti medi dei bordi emisferiche Mappa obliquo Guyou con pali a vertici quadrati, o due emisferi Adams; meridiano centrale 25 & deg; W Un altro aspetto obliquo della proiezione Guyou, riducendo al minimo le interruzioni continentali (regioni purtroppo densamente popolate come il Giappone, Iberia e Nuova Zelanda sono interrotti o vicino agli angoli della grande distorsione areale) Anche in questo caso, c'è una vasta gamma di distorsione scala e conformality è assente agli angoli di ogni quadrato, dove parallelo 45 & deg; N / S soddisfa i meridiani diritte. In realtà, le proiezioni di Guyou di Peirce e sono casi trasversali di ogni altra, sottolineando gli aspetti polari ed equatoriali, rispettivamente. Con una semplice rotazione, copie identiche di mappe Guyou può anche piastrelle piano. mappe Guyou piastrelle Emisferi Square di O. S.Adams Ancora un altro sviluppo del tema piazza è un aspetto obliquo in cui i pali sono posti due degli angoli quadrati. Oscar S. Adams, anche un membro prolifico del Stati Uniti Coast e Geodetic Survey, ha presentato la sua mappa del mondo conformazionale in due emisferi quadrati em 1925. Esattamente come negli altri aspetti di Peirce e Guyou, agli angoli della piazza, dove conformalità fallisce, distorsione scala è estrema. Solo l'equatore e il meridiano centrale sono linee rette; i meridiani contorno sono anche direttamente, ma rotti all'equatore. Nonostante l'interesse a causa della loro sviluppo matematico, sono raramente state utilizzate le proiezioni conformi a piazze di Peirce, Guyou e Adams. mappa del O. S.Adams conforme mondo in una piazza (1929) Conformal Mondo Maps in altri poligoni Nuovi strumenti complessi Ulteriori sviluppi su proiezioni conformazionale si basava principalmente sui risultati notevoli di analisi complessa: Il teorema di Riemann sulla mappatura conformazionale (1851), in cui si afferma condizioni necessarie per conformally conversione tra due regioni piane collegate, ma non descrive come realizzare questa mappatura integrante di Hermann A. Schwarz sul piano complesso per mappare un cerchio di raggio 1 (chiamato il disco unità) a qualsiasi poligono regolare la trasformazione Schwarz-Christoffel, un'altra integrante complesso dimostrato in modo indipendente da Elwin B. Christoffel nel 1867 e Schwarz nel 1869; esprime come mappare tra la metà di un piano (o il disco di unità) e qualsiasi semplicemente connesso poligono (cioè non autointersecante). Mappa di Adams conforme mondo in una piazza (1936) Anche se le opere di Schwarz e Christoffel realizzato una dimostrazione costruttiva del teorema di Riemann, la loro applicazione alla cartografia (diverso da semplici casi particolari) è rimasto impraticabile per quasi un secolo; per la maggior parte dei casi, non comportano formule chiuse e richiedono risolvendo un sistema di equazioni lineari. mappatura effettiva coinvolge valutazione numerica lungo per approssimazioni successive. Anche dopo che i computer digitali sono diventati generalmente disponibili, i risultati sono stati tutt'altro che uniforme. Molti algoritmi per la mappatura Schwarz-Christoffel sofferto di scarsa efficienza, precisione limitata, o di instabilità, vale a dire la mancata convergere ad un risultato, o di cattiva gestione delle singolarità (di solito presente a vertici del poligono). Mappe del Mondo di O. S.Adams Dopo aver presentato i suoi emisferi conformazionale nelle piazze. Oscar S. Adams proposto due proiezioni con una mappa del mondo in una sola piazza. La prima versione (1929) ha poli in angoli opposti; distorsione scala è estrema ad ogni angolo, che manca di conformalità. La seconda (1936) ha poli a punti medi dei bordi contrapposti; ancora una volta, non c'è distorsione scala forte ai vertici. Questa proiezione non è conforme ad ogni angolo e al punto medio del bordo. Altre proiezioni conformazionale meno noti di Adams sono stati basati su una ellisse e molti altri poligoni. Mappe di Lee Conformal Il mondo di Xarax a metà di un esagono regolare. Ridisegnato dopo Xarax. Laurence P. Lee, cartografo e ufficiale superiore distinto in un'agenzia di mappatura nazionale in Nuova Zelanda, ulteriormente generalizzato e migliorato la precisione dei metodi per la mappatura conformazionale arbitrario. Le sue proiezioni comprese le mappe del mondo su rettangoli, ellissi, il triangolo equilatero, il tetraedro regolare (1965) e altri poliedri regolari (1976). Come Adams di, i disegni di Lee hanno attirato l'interesse accademico e hanno aperto la strada a nuovi successi matematici, ma ha trovato l'uso limitato nelle mappe comuni. Mappe più recenti Conformal Costante Xarax dalla Grecia, influenzato da mappa conforme sui poligoni e poliedri di Lee, proiezione obliqua di Briesemeister e le mappe poliedriche in una disposizione a farfalla, ha proposto una mappa conforme del mondo in mezzo un esagono regolare (2004). In sostanza, proiezione conforme tetraedrico di Lee viene aspirata l'aspetto del polo sud originale, quindi diviso in tre lobi, che sono riorganizzate attorno al polo nord; I saldi risultato leggibilità, basso numero di interruzioni e forme facilmente riconoscibile. Come nel progetto originale, conformalità fallisce al polo nord e ai quattro punti sul bordo della mappa in cui sono suddivisi i tre meridiani diritte. Assortiti viste ortogonali di proiezione doppio mondo di Gilbert (conformazionale sulla sfera, non sulle mappe piatte). Un aspetto equatoriale può presentare il mondo intero. Un aspetto obliquo evidenzia come ogni punto della Terra è duplicato. Conformalità è assente su entrambi i poli, come dimostrato da una esposizione sud polare. DeLucia / visione leggermente obliqua di Snyder. Utilizzando lo stesso approccio di compressione di Lambert del stereografica azimutale equatoriale che ha avuto origine la proiezione "Lagrange", Edgar N. Gilbert (ca. 1970) ridotto longitudini della sfera stessa, con un moltiplicatore di 0,5, poi spostato alle latitudini per ripristinare conformalità. Tutta la terra è rimappato in un emisfero, che può essere duplicata nella "mappa" finale. Gilbert ha avuto almeno un caso di questo "doppio globo" in realtà assemblati in cui ogni punto della Terra è rappresentato due volte. L'intera sfera è conforme se non a entrambi i poli. Cosa c'è di sbagliato in questo globo & mdash; sul serio? "Double-Globe" con spaziatura dimezzato meridiano (superficialmente simile a Gilbert, ma nessuna correzione conforme): top, ortografica aspetto equatoriale come presentato da Tobler; sopra, obliquo vista ortogonale. Nella sua rubrica Giochi Matematici per la rivista Scientific American, Martin Gardner ha citato Gilbert come ricordare che poche persone notano nulla di strano il mondo ripetendo nel suo ufficio. In una presentazione spensierato sulle mappe insoliti, cartografo Waldo Tobler suggerisce che quasi nessuno si oppone a un aspetto ortogonale equatoriale di un globo con compressione semplice meridiana e nessuna correzione conforme. Fare tali riferimenti anedoctal riflettono una certa tendenza innata a ignorare i dettagli geografici, una generale mancanza di familiarità con globi, o semplicemente facetiousness gli autori di? Nel 2015, l'esperimento di Gilbert è stato eseguito dall'artista David Swart con il proprio doppio globo. con risultati simili. Un po 'come le proposte di orthoapsidal Raisz, Alan DeLucia e John Snyder applicata (1986) una trasformazione ortogonale a sfera "due-mondo" di Gilbert, la creazione di una mappa piatta centrata a 5 & deg; N 5 & deg; E. Come è tipico di viste ortogonali, i confini orientali e occidentali della mappa sono notevolmente compressi; un sottile lune del Mar Glaciale Artico appare due volte e una corrispondente fetta dell'Antartide omesso. Visivamente il risultato assomiglia alla comparsa globulare del Lagrange e van der proiezioni Grinten, con il Polar esagerazione zona che ricorda mappe Mercator. Come altre rappresentazioni ortogonali della sfera, il reticolo comprende archi ellittici e la mappa non è né conforme né ad area uguale.
No comments:
Post a Comment